切平面与法平面公式 空间曲线曲面核心公式

切平面与法平面公式是多元微分几何的重点内容，切平面针对空间曲面，法平面对应空间曲线，二者本质都是利用偏导数或者切向量来确定平面方程，曲面在一点的切平面，就是曲面在该点所有切线共同所在的平面，法向量就是切平面的垂直方向，空间曲线在一点的法平面，是和曲线该点切向量垂直的平面，做题的时候核心就是先求出法向量或者切向量，再代入平面点法式方程，分清曲面求切平面，曲线求法平面，不要把两类对象混淆。之所以要区分切平面和法平面，是因为研究对象不一样，切平面研究曲面局部线性近似，利用全微分思想，曲面在某点附近可以近似成这个切平面，法平面研究空间曲线，曲线本身是一维轨迹，在某点的切线方向就是曲线走向，法平面就是垂直这个切线方向的平面，两个公式都建立在偏导数连续，函数可微的前提之上，如果偏导数不存在，该点切平面或者法平面就不能按这套公式计算。

一 空间曲面 切平面公式

隐式曲面 F x y z = 0

设曲面方程 F x y z = 0，点 M0 x0 y0 z0 在曲面上，且 F 在该点偏导数连续不全为零

法向量 n 等于 Fx x0 y0 z0 ，Fy x0 y0 z0 ，Fz x0 y0 z0

切平面方程

Fx x0 y0 z0 乘 x 减 x0 加 Fy x0 y0 z0 乘 y 减 y0 加 Fz x0 y0 z0 乘 z 减 z0 等于 0

显式曲面 z 等于 f x y

令 F x y z = f x y 减 z，套用上面隐式公式

Fx 等于 fx x0 y0，Fy 等于 fy x0 y0，Fz 等于 负 1

切平面方程

fx x0 y0 乘 x 减 x0 加 fy x0 y0 乘 y 减 y0 减 z 减 z0 等于 0

整理之后

z 减 z0 等于 fx x0 y0 乘 x 减 x0 加 fy x0 y0 乘 y 减 y0

二 空间曲线 法平面公式

参数方程形式 x 等于 x t，y 等于 y t，z 等于 z t

对应参数 t0 对应的点 M0 x0 y0 z0

切向量 T 等于 x 撇 t0，y 撇 t0，z 撇 t0

法平面和切向量垂直，法平面方程

x 撇 t0 乘 x 减 x0 加 y 撇 t0 乘 y 减 y0 加 z 撇 t0 乘 z 减 z0 等于 0

一般交线形式 方程组 F x y z = 0，G x y z = 0

点 M0 在交线上，切向量是两个曲面法向量的叉乘

T 等于 梯度 F 叉乘 梯度 G，也就是

T 等于 FyFz 减 FzFy，FzFx 减 FxFz，FxFy 减 FyFx，全部取值在 M0 点

再代入法平面点法式方程，形式和参数法一致

三 公式对照表

四 解题步骤

第一步 判断题型，确认是曲面求切平面，还是空间曲线求法平面

第二步 求对应的向量，曲面求三个偏导得到法向量，曲线求导得到切向量，交线曲线做叉乘求切向量

第三步 确认已知点坐标 x0 y0 z0

第四步 代入点法式平面方程，展开化简得到最终方程

第五步 校验，检查偏导数或者导数是否为零，如果全为零，该点是奇点，公式失效

五 补充关联概念

曲面除了切平面，还有法线，法线方向就是切平面的法向量方向

空间曲线除了法平面，还有切线，切线方向就是切向量方向，切线方程是对称式

很多考题会把切线 法平面 切平面 法线放在同一道题综合考察，记忆的时候抓住核心，切平面的方向向量是曲面法向量，法平面的方向向量是曲线切向量，这个是最容易记混的关键点。

掌握这套切平面与法平面公式，只要分清曲面和曲线两类题型，求出对应的法向量或者切向量，套用点法式，就可以完成绝大多数高数下册多元微分几何的考题，做题重点是不要混淆向量类型，显式曲面记得 z 的偏导是负 1，交线曲线记得使用叉乘求切向量。

【常见问题】

问题 1 切平面与法平面公式里面，切平面是针对曲线还是曲面

回答 1 切平面与法平面公式当中，切平面是针对空间曲面，法平面是针对空间曲线，切平面是曲面在一点的切平面，法平面是空间曲线在一点垂直切线的平面，学习切平面与法平面公式的时候第一步就要区分研究对象，避免套错公式。

问题 2 显式曲面 z 等于 f x y 使用切平面与法平面公式的时候 Fz 是多少

回答 2 使用切平面与法平面公式处理显式曲面 z 等于 f x y，转化成隐式 F x y z 等于 f x y 减 z，此时 Fz 等于负 1，代入切平面与法平面公式，就可以得到 z 减 z0 等于 fx x0 y0 乘 x 减 x0 加 fy x0 y0 乘 y 减 y0。

问题 3 空间曲线一般交线形式求法平面，切向量怎么得到

回答 3 空间曲线是两个曲面交线，运用切平面与法平面公式的时候，切向量等于两个曲面在该点梯度向量做叉乘，得到切向量之后，再代入法平面的点法式方程，这是交线形式使用切平面与法平面公式的标准解法。

问题 4 如果偏导数全部等于零，切平面与法平面公式还可以直接使用吗

回答 4 如果偏导数全部等于零，该点属于奇点，切平面与法平面公式不能直接套用，切平面与法平面公式成立的前提是偏导数连续并且不全为零，遇到奇点需要单独讨论，不能直接代入公式计算。

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